OpenAIは10月26日、同社のAIモデルが生み出した3件の研究成果をまとめて公表した。分野は理論計算機科学、調和解析、数理物理にまたがる。最も重いのが、指数時間仮説（ETH）は成り立たないという証明だ。どのモデルを使ったかは明らかにされておらず、「OpenAIのAIモデル」とだけ説明している。3件とも学界によるさらなる独立した確認が必要だとしている。
ETH：数百本の論文を支える土台
指数時間仮説は、ブール式の充足可能性問題（3-SAT）の計算上の難しさに関するものだ。大まかに言えば、この種の問題は劣指数時間では解けないと主張する。「PとNPは等しくない」よりも強く、使い勝手も良いため、数十年にわたり暗黙の前提として扱われてきた。グラフ理論、計算生物学、データベース、計算幾何学の分野では、数百本の論文の下界の結論がこの仮説に立脚している。
OpenAIが示したタイムラインによると、モデルは10月16日に自然言語による証明を生成し、翌日にはLeanによる形式化を終えた。共同研究に加わったのは、カリフォルニア大学サンディエゴ校のRussell Impagliazzo氏とRamamohan Paturi氏、マサチューセッツ工科大学のRyan Williams氏。前の2人はETHの提唱者でもある。
開示された内容によれば、研究者側はOpenAIに2つの条件を提示した。生データをすべて公開すること、そしてこの結果がコンピュータサイエンスに与える影響を議論する学術会議の費用を出すことだ。OpenAIはいずれも受け入れた。証明が検証に耐えるなら、ETHを前提にしてきた論文は1本ずつ再評価が必要になる。結論が単に「前提が崩れた」だけのものか、別の仮説で救えるものかを見極める作業は、決して小さくない。
掛谷予想：中国の研究者にはなじみ深い系譜
2件目の成果は、すべての次元で局所平滑化予想を証明し、そこからすべての次元の掛谷予想とスタイン制限予想を導いたというものだ。鍵になったのは、モデルが構成した補助的な偏微分方程式である。OpenAIによれば、証明を得たのは10月18日、Leanによる形式化の完了は翌19日で、自然言語版とLeanファイルはGitHubに公開されている。
この系譜は中国語圏の読者にはなじみ深い。局所平滑化予想は1991年にChristopher Sogge氏が提起した。2019年にはLarry Guth氏、王虹（Hong Wang）氏、張睿翔（Ruixiang Zhang）氏が2次元の場合を証明。2025年には王虹氏とJoshua Zahl氏が3次元の掛谷予想を証明し、調和解析における長年の最重要の進展の一つと見なされた。3次元から全次元へ一気に跳ぶのは大きな飛躍で、外部の数学者がどう評価するかは、現時点では公には見えていない。
ヤン＝ミルズ：専門家による査読のみ
3件目は数理物理だ。ゲージ場とフェルミオンの両方を含む4次元の相互作用する量子場の理論が、厳密な数学の意味で確かに存在することを示した。量子色力学もこれに含まれ、純粋なヤン＝ミルズ理論の存在に関する部分問題にも言及している。純粋ヤン＝ミルズ理論の存在と質量ギャップは、クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題の一つだ。
手法はTadeusz Balaban氏の構成的場の量子論の路線を踏襲している。標準模型を任意に短い距離スケールへそのまま外挿することはできないため、証明の対象は、標準模型のゲージ場とフェルミオンを含む最も単純な大統一理論とした。査読はノーベル賞受賞者のDavid Gross氏が主導し、Michael Douglas氏、Arthur Jaffe氏、Igor Klebanov氏、Nikita Nekrasov氏が参加した。この件は形式的な検証が行われていない。
5月から10月へ
今年のOpenAIの数学関連の発表を並べると、ペースが上がり、対象も変わってきている。5月は80年来のエルデシュ問題。9月はナビエ＝ストークス方程式の滑らかさの問題で、同じくLeanファイルが付いていたが、当時は数学者による独立した検証は完了していなかった。今回は、多くの下流の研究が依拠する計算複雑性の仮説に踏み込み、しかも仮説の提唱者本人を初めて共同研究者に迎えた。
検証の方法にも差が出ている。数学の2件は機械でチェック可能なLean証明が付いたが、物理の1件は人の目に頼るほかない。Leanは導出に抜けがないことを保証できるが、それは形式化の際に命題そのものの記述がぶれていないことが前提だ。この点は、独立したチームがファイルを一行ずつ読み込むまで確認できない。
参考資料：OpenAI研究発表、CocoLoop、ITホーム。GitHubで公開されているLean形式化ファイルで、証明の対象と検証方法を確認した。